АдаптивВойти

Задание 15: Неравенство

Математика (профиль), часть 2. Развёрнутое решение раскрывается по клику.

Математика№15Показательное неравенствоЛёгкаяОткрыть →
Решите неравенство 22x+10≤32x+1−1.\frac{2}{2^x+10}\leq\frac{3}{2^{x+1}-1}.
Показать решение
Сделаем замену 2x=t,t>0.2^x=t,\quad t>0. Тогда 2x+1=2t,2^{x+1}=2t, и исходное неравенство принимает вид 2t+10≤32t−1.\frac{2}{t+10}\leq\frac{3}{2t-1}. Перенесём всё в левую часть: 2t+10−32t−1≤0.\frac{2}{t+10}-\frac{3}{2t-1}\leq0. Приведём дроби к общему знаменателю: 2(2t−1)−3(t+10)(t+10)(2t−1)≤0.\frac{2(2t-1)-3(t+10)}{(t+10)(2t-1)}\leq0. Упростим числитель: 4t−2−3t−30(t+10)(2t−1)≤0,\frac{4t-2-3t-30}{(t+10)(2t-1)}\leq0, t−32(t+10)(2t−1)≤0.\frac{t-32}{(t+10)(2t-1)}\leq0. Учтём, что t>0.t>0. Кроме того, 2t−1≠0,2t-1\neq0, поэтому t≠12.t\neq\frac12. Так как при t>0t>0 выражение t+10t+10 всегда положительно, рассматриваем знаки выражений t−32t-32 и 2t−1.2t-1. Критические точки: t=12,t=32.t=\frac12,\qquad t=32. Методом интервалов получаем: t∈(12;32].t\in\left(\frac12;32\right]. Возвращаемся к переменной xx: 12<2x≤32.\frac12<2^x\leq32. Представим границы как степени двойки: 2−1<2x≤25.2^{-1}<2^x\leq2^5. Так как функция 2x2^x возрастает, получаем: −1<x≤5.-1<x\leq5. Ответ: x∈(−1;5].x\in(-1;5].
Математика№15Показательное неравенствоСредняяОткрыть →
Решите неравенство 3x−8−2⋅3x+1−199x−5⋅3x+6≤13x−3.3^x-8-\frac{2\cdot3^{x+1}-19}{9^x-5\cdot3^x+6}\leq\frac{1}{3^x-3}.
Показать решение
Сделаем замену 3x=t,t>0.3^x=t,\quad t>0. Тогда 9x=t2,9^x=t^2, а исходное неравенство принимает вид t−8−6t−19t2−5t+6≤1t−3.t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\leq\frac{1}{t-3}. Разложим знаменатель на множители: t2−5t+6=(t−2)(t−3).t^2-5t+6=(t-2)(t-3). При этом необходимо учитывать ограничения t≠2,t≠3.t\neq2,\qquad t\neq3. Перенесём правую часть влево: t−8−6t−19(t−2)(t−3)−1t−3≤0.t-8-\frac{6t-19}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{t-3}\leq0. Приведём дроби к общему знаменателю: t−8−6t−19+t−2(t−2)(t−3)≤0,t-8-\frac{6t-19+t-2}{(t-2)(t-3)}\leq0, t−8−7t−21(t−2)(t−3)≤0.t-8-\frac{7t-21}{(t-2)(t-3)}\leq0. Вынесем общий множитель в числителе: t−8−7(t−3)(t−2)(t−3)≤0.t-8-\frac{7(t-3)}{(t-2)(t-3)}\leq0. Так как t≠3t\neq3, сокращаем на t−3t-3: t−8−7t−2≤0,t-8-\frac{7}{t-2}\leq0, при этом условие t≠3t\neq3 сохраняется. Приведём выражение к одной дроби: (t−8)(t−2)−7t−2≤0,\frac{(t-8)(t-2)-7}{t-2}\leq0, t2−10t+9t−2≤0,\frac{t^2-10t+9}{t-2}\leq0, (t−1)(t−9)t−2≤0.\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\leq0. Методом интервалов получаем t∈(−∞;1]∪(2;9].t\in(-\infty;1]\cup(2;9]. Учитывая условия t>0,t≠3,t>0,\qquad t\neq3, имеем t∈(0;1]∪(2;3)∪(3;9].t\in(0;1]\cup(2;3)\cup(3;9]. Возвращаемся к переменной xx. Если 0<3x≤1,0<3^x\leq1, то x≤0.x\leq0. Если 2<3x<3,2<3^x<3, то, поскольку функция 3x3^x возрастает, log⁡32<x<1.\log_3 2<x<1. Если 3<3x≤9,3<3^x\leq9, то 1<x≤2.1<x\leq2. Следовательно, x∈(−∞;0]∪(log⁡32;1)∪(1;2].x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]. Ответ: x∈(−∞;0]∪(log⁡32;1)∪(1;2].x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2].
Математика№15Логарифмическое неравенствоСредняяОткрыть →
Решите неравенство 7log⁡12(x2−13x+42)≤8+log⁡12(x−7)7x−6.7\log_{12}(x^2-13x+42)\leq8+\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.
Показать решение
Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными: {x2−13x+42>0,(x−7)7x−6>0. \begin{cases} x^2-13x+42>0,\\ \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0. \end{cases} Разложим квадратный трёхчлен на множители: x2−13x+42=(x−6)(x−7).x^2-13x+42=(x-6)(x-7). Получаем: {(x−6)(x−7)>0,(x−7)7x−6>0. \begin{cases} (x-6)(x-7)>0,\\ \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0. \end{cases} Обе части системы выполняются при x∈(−∞;6)∪(7;+∞).x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty). Это ОДЗ исходного неравенства. Перенесём второй логарифм в левую часть: 7log⁡12((x−6)(x−7))−log⁡12(x−7)7x−6≤8.7\log_{12}\big((x-6)(x-7)\big) -\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\leq8. Используем свойства логарифмов: log⁡12((x−6)7(x−7)7)−log⁡12(x−7)7x−6≤8. \log_{12}\left((x-6)^7(x-7)^7\right) -\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\leq8. Объединим логарифмы: log⁡12(x−6)7(x−7)7(x−7)7x−6≤8. \log_{12} \frac{(x-6)^7(x-7)^7}{\dfrac{(x-7)^7}{x-6}} \leq8. Сокращаем: log⁡12(x−6)8≤8.\log_{12}(x-6)^8\leq8. Так как (x−6)8=∣x−6∣8,(x-6)^8=|x-6|^8, получаем 8log⁡12∣x−6∣≤8.8\log_{12}|x-6|\leq8. Разделим обе части на 88: log⁡12∣x−6∣≤1.\log_{12}|x-6|\leq1. Так как основание логарифма 12>112>1, имеем ∣x−6∣≤12.|x-6|\leq12. Отсюда −12≤x−6≤12,-12\leq x-6\leq12, −6≤x≤18.-6\leq x\leq18. Теперь пересечём полученный промежуток с ОДЗ: [−6;18]∩((−∞;6)∪(7;+∞)).[-6;18]\cap\left((-\infty;6)\cup(7;+\infty)\right). Получаем x∈[−6;6)∪(7;18].x\in[-6;6)\cup(7;18]. Ответ: x∈[−6;6)∪(7;18].x\in[-6;6)\cup(7;18].
Математика№15Показательное неравенствоСредняяОткрыть →
Решите неравенство 23x−2⋅4x+1+5⋅2x+2−16x−1≥0.\frac{2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16}{x-1}\geq0.
Показать решение
Разложим числитель на множители. Сделаем замену 2x=t,t>0.2^x=t,\quad t>0. Тогда 23x=t3,2^{3x}=t^3, 2⋅4x+1=2⋅4⋅4x=8⋅22x=8t2,2\cdot4^{x+1}=2\cdot4\cdot4^x=8\cdot2^{2x}=8t^2, 5⋅2x+2=20⋅2x=20t.5\cdot2^{x+2}=20\cdot2^x=20t. Поэтому числитель принимает вид t3−8t2+20t−16.t^3-8t^2+20t-16. Разложим полученный многочлен на множители: t3−8t2+20t−16=(t−2)(t2−6t+8),t^3-8t^2+20t-16=(t-2)(t^2-6t+8), t3−8t2+20t−16=(t−2)2(t−4).t^3-8t^2+20t-16=(t-2)^2(t-4). Возвращаемся к переменной xx: 23x−2⋅4x+1+5⋅2x+2−16=(2x−2)2(2x−4).2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16 =(2^x-2)^2(2^x-4). Получаем неравенство (2x−2)2(2x−4)x−1≥0.\frac{(2^x-2)^2(2^x-4)}{x-1}\geq0. Найдём нули числителя: 2x−2=0,2^x-2=0, 2x=2,2^x=2, x=1,x=1, и 2x−4=0,2^x-4=0, 2x=4,2^x=4, x=2.x=2. Знаменатель обращается в ноль при x=1.x=1. Поэтому точка x=1x=1 не входит в область допустимых значений. Множитель (2x−2)2(2^x-2)^2 неотрицателен и не меняет знак. Поэтому знак дроби определяется выражением 2x−4x−1.\frac{2^x-4}{x-1}. Критические точки: x=1,x=2.x=1,\qquad x=2. На промежутке (−∞;1)(-\infty;1) числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна. На промежутке (1;2)(1;2) числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна. При x≥2x\geq2 дробь неотрицательна, причём при x=2x=2 она равна нулю. Следовательно, x∈(−∞;1)∪[2;+∞).x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty). Ответ: x∈(−∞;1)∪[2;+∞).x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty).
Математика№15Показательное неравенствоСредняяОткрыть →
Решите неравенство 27x+1−3⋅9x+1+3x+2−150x2+50x+12,5≥0.\frac{27^{x+1}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+2}-1}{50x^2+50x+12{,}5}\geq0.
Показать решение
Разложим числитель на множители. Сделаем замену 3x=t.3^x=t. Тогда 27x+1=27⋅33x=27t3,27^{x+1}=27\cdot3^{3x}=27t^3, 3⋅9x+1=27⋅32x=27t2,3\cdot9^{x+1}=27\cdot3^{2x}=27t^2, 3x+2=9⋅3x=9t.3^{x+2}=9\cdot3^x=9t. Поэтому числитель равен 27t3−27t2+9t−1.27t^3-27t^2+9t-1. Это куб разности: 27t3−27t2+9t−1=(3t−1)3.27t^3-27t^2+9t-1=(3t-1)^3. Возвращаясь к переменной xx, получаем 27x+1−3⋅9x+1+3x+2−1=(3x+1−1)3.27^{x+1}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+2}-1=(3^{x+1}-1)^3. Теперь разложим знаменатель: 50x2+50x+12,5=12,5(4x2+4x+1),50x^2+50x+12{,}5=12{,}5(4x^2+4x+1), 50x2+50x+12,5=12,5(2x+1)2.50x^2+50x+12{,}5=12{,}5(2x+1)^2. Исходное неравенство принимает вид (3x+1−1)312,5(2x+1)2≥0.\frac{(3^{x+1}-1)^3}{12{,}5(2x+1)^2}\geq0. Знаменатель обращается в ноль при 2x+1=0,2x+1=0, x=−12.x=-\frac12. Поэтому x≠−12.x\neq-\frac12. При остальных значениях xx знаменатель положителен, так как является произведением положительного числа и квадрата. Следовательно, достаточно решить неравенство (3x+1−1)3≥0.(3^{x+1}-1)^3\geq0. Так как третья степень сохраняет знак, получаем 3x+1−1≥0,3^{x+1}-1\geq0, 3x+1≥1,3^{x+1}\geq1, 3x+1≥30.3^{x+1}\geq3^0. Функция 3x3^x возрастает, поэтому x+1≥0,x+1\geq0, x≥−1.x\geq-1. Исключаем точку x=−12,x=-\frac12, в которой исходное выражение не определено. Получаем x∈[−1;−12)∪(−12;+∞).x\in\left[-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;+\infty\right). Ответ: x∈[−1;−12)∪(−12;+∞).x\in\left[-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;+\infty\right).
Математика№15Показательное неравенствоСредняяОткрыть →
Решите неравенство x3+x2−x−14x2−8⋅2x2+16≥0.\frac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16}\geq0.
Показать решение
Разложим знаменатель на множители. Сделаем замену 2x2=t.2^{x^2}=t. Тогда 4x2−8⋅2x2+16=t2−8t+16=(t−4)2.4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16=t^2-8t+16=(t-4)^2. Следовательно, 4x2−8⋅2x2+16=(2x2−4)2.4^{x^2}-8\cdot2^{x^2}+16=(2^{x^2}-4)^2. Теперь разложим числитель на множители: x3+x2−x−1=(x3+x2)−(x+1),x^3+x^2-x-1=(x^3+x^2)-(x+1), x3+x2−x−1=x2(x+1)−(x+1),x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1), x3+x2−x−1=(x+1)(x2−1),x^3+x^2-x-1=(x+1)(x^2-1), x3+x2−x−1=(x+1)2(x−1).x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1). Получаем неравенство (x+1)2(x−1)(2x2−4)2≥0.\frac{(x+1)^2(x-1)}{(2^{x^2}-4)^2}\geq0. Найдём точки, в которых числитель равен нулю: (x+1)2(x−1)=0.(x+1)^2(x-1)=0. Отсюда x=−1x=-1 или x=1.x=1. Теперь найдём значения, при которых знаменатель равен нулю: 2x2−4=0,2^{x^2}-4=0, 2x2=4,2^{x^2}=4, 2x2=22,2^{x^2}=2^2, x2=2,x^2=2, x=±2.x=\pm\sqrt2. Точки x=−2,x=2x=-\sqrt2,\qquad x=\sqrt2 не входят в область допустимых значений. При всех остальных значениях xx знаменатель (2x2−4)2(2^{x^2}-4)^2 положителен, поэтому знак дроби определяется числителем (x+1)2(x−1).(x+1)^2(x-1). Множитель (x+1)2(x+1)^2 неотрицателен и обращается в ноль при x=−1.x=-1. Поэтому дробь равна нулю при x=−1x=-1 и x=1,x=1, а положительна при x>1,x>1, за исключением точки x=2,x=\sqrt2, в которой выражение не определено. Получаем x∈{−1}∪[1;2)∪(2;+∞).x\in\{-1\}\cup[1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty). Ответ: x∈{−1}∪[1;2)∪(2;+∞).x\in\{-1\}\cup[1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty).
ЕГЭ математика (профиль): задание 15 — Неравенство