АдаптивВойти

Математика, задание 15: Неравенство

Математика№15Показательное неравенствоСредняя
Решите неравенство 3x−8−2⋅3x+1−199x−5⋅3x+6≤13x−3.3^x-8-\frac{2\cdot3^{x+1}-19}{9^x-5\cdot3^x+6}\leq\frac{1}{3^x-3}.
Показать решение
Сделаем замену 3x=t,t>0.3^x=t,\quad t>0. Тогда 9x=t2,9^x=t^2, а исходное неравенство принимает вид t−8−6t−19t2−5t+6≤1t−3.t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\leq\frac{1}{t-3}. Разложим знаменатель на множители: t2−5t+6=(t−2)(t−3).t^2-5t+6=(t-2)(t-3). При этом необходимо учитывать ограничения t≠2,t≠3.t\neq2,\qquad t\neq3. Перенесём правую часть влево: t−8−6t−19(t−2)(t−3)−1t−3≤0.t-8-\frac{6t-19}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{t-3}\leq0. Приведём дроби к общему знаменателю: t−8−6t−19+t−2(t−2)(t−3)≤0,t-8-\frac{6t-19+t-2}{(t-2)(t-3)}\leq0, t−8−7t−21(t−2)(t−3)≤0.t-8-\frac{7t-21}{(t-2)(t-3)}\leq0. Вынесем общий множитель в числителе: t−8−7(t−3)(t−2)(t−3)≤0.t-8-\frac{7(t-3)}{(t-2)(t-3)}\leq0. Так как t≠3t\neq3, сокращаем на t−3t-3: t−8−7t−2≤0,t-8-\frac{7}{t-2}\leq0, при этом условие t≠3t\neq3 сохраняется. Приведём выражение к одной дроби: (t−8)(t−2)−7t−2≤0,\frac{(t-8)(t-2)-7}{t-2}\leq0, t2−10t+9t−2≤0,\frac{t^2-10t+9}{t-2}\leq0, (t−1)(t−9)t−2≤0.\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\leq0. Методом интервалов получаем t∈(−∞;1]∪(2;9].t\in(-\infty;1]\cup(2;9]. Учитывая условия t>0,t≠3,t>0,\qquad t\neq3, имеем t∈(0;1]∪(2;3)∪(3;9].t\in(0;1]\cup(2;3)\cup(3;9]. Возвращаемся к переменной xx. Если 0<3x≤1,0<3^x\leq1, то x≤0.x\leq0. Если 2<3x<3,2<3^x<3, то, поскольку функция 3x3^x возрастает, log⁡32<x<1.\log_3 2<x<1. Если 3<3x≤9,3<3^x\leq9, то 1<x≤2.1<x\leq2. Следовательно, x∈(−∞;0]∪(log⁡32;1)∪(1;2].x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]. Ответ: x∈(−∞;0]∪(log⁡32;1)∪(1;2].x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2].

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 15: Показательное неравенство