АдаптивВойти

Математика, задание 15: Неравенство

Математика№15Логарифмическое неравенствоСредняя
Решите неравенство 7log⁡12(x2−13x+42)≤8+log⁡12(x−7)7x−6.7\log_{12}(x^2-13x+42)\leq8+\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.
Показать решение
Найдём область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительными: {x2−13x+42>0,(x−7)7x−6>0. \begin{cases} x^2-13x+42>0,\\ \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0. \end{cases} Разложим квадратный трёхчлен на множители: x2−13x+42=(x−6)(x−7).x^2-13x+42=(x-6)(x-7). Получаем: {(x−6)(x−7)>0,(x−7)7x−6>0. \begin{cases} (x-6)(x-7)>0,\\ \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0. \end{cases} Обе части системы выполняются при x∈(−∞;6)∪(7;+∞).x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty). Это ОДЗ исходного неравенства. Перенесём второй логарифм в левую часть: 7log⁡12((x−6)(x−7))−log⁡12(x−7)7x−6≤8.7\log_{12}\big((x-6)(x-7)\big) -\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\leq8. Используем свойства логарифмов: log⁡12((x−6)7(x−7)7)−log⁡12(x−7)7x−6≤8. \log_{12}\left((x-6)^7(x-7)^7\right) -\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}\leq8. Объединим логарифмы: log⁡12(x−6)7(x−7)7(x−7)7x−6≤8. \log_{12} \frac{(x-6)^7(x-7)^7}{\dfrac{(x-7)^7}{x-6}} \leq8. Сокращаем: log⁡12(x−6)8≤8.\log_{12}(x-6)^8\leq8. Так как (x−6)8=∣x−6∣8,(x-6)^8=|x-6|^8, получаем 8log⁡12∣x−6∣≤8.8\log_{12}|x-6|\leq8. Разделим обе части на 88: log⁡12∣x−6∣≤1.\log_{12}|x-6|\leq1. Так как основание логарифма 12>112>1, имеем ∣x−6∣≤12.|x-6|\leq12. Отсюда −12≤x−6≤12,-12\leq x-6\leq12, −6≤x≤18.-6\leq x\leq18. Теперь пересечём полученный промежуток с ОДЗ: [−6;18]∩((−∞;6)∪(7;+∞)).[-6;18]\cap\left((-\infty;6)\cup(7;+\infty)\right). Получаем x∈[−6;6)∪(7;18].x\in[-6;6)\cup(7;18]. Ответ: x∈[−6;6)∪(7;18].x\in[-6;6)\cup(7;18].

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 15: Логарифмическое неравенство