Математика№15Показательное неравенствоЛёгкая
Решите неравенство
2x+102≤2x+1−13. Показать решениеСкрыть решение
Сделаем замену
2x=t,t>0.
Тогда
2x+1=2t,
и исходное неравенство принимает вид
t+102≤2t−13.
Перенесём всё в левую часть:
t+102−2t−13≤0.
Приведём дроби к общему знаменателю:
(t+10)(2t−1)2(2t−1)−3(t+10)≤0.
Упростим числитель:
(t+10)(2t−1)4t−2−3t−30≤0,
(t+10)(2t−1)t−32≤0.
Учтём, что
t>0.
Кроме того,
2t−1=0,
поэтому
t=21.
Так как при t>0 выражение t+10 всегда положительно, рассматриваем знаки выражений
t−32
и
2t−1.
Критические точки:
t=21,t=32.
Методом интервалов получаем:
t∈(21;32].
Возвращаемся к переменной x:
21<2x≤32.
Представим границы как степени двойки:
2−1<2x≤25.
Так как функция 2x возрастает, получаем:
−1<x≤5.
Ответ:
x∈(−1;5].