АдаптивВойти

Математика, задание 15: Неравенство

Математика№15Показательное неравенствоСредняя
Решите неравенство 27x+1−3⋅9x+1+3x+2−150x2+50x+12,5≥0.\frac{27^{x+1}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+2}-1}{50x^2+50x+12{,}5}\geq0.
Показать решение
Разложим числитель на множители. Сделаем замену 3x=t.3^x=t. Тогда 27x+1=27⋅33x=27t3,27^{x+1}=27\cdot3^{3x}=27t^3, 3⋅9x+1=27⋅32x=27t2,3\cdot9^{x+1}=27\cdot3^{2x}=27t^2, 3x+2=9⋅3x=9t.3^{x+2}=9\cdot3^x=9t. Поэтому числитель равен 27t3−27t2+9t−1.27t^3-27t^2+9t-1. Это куб разности: 27t3−27t2+9t−1=(3t−1)3.27t^3-27t^2+9t-1=(3t-1)^3. Возвращаясь к переменной xx, получаем 27x+1−3⋅9x+1+3x+2−1=(3x+1−1)3.27^{x+1}-3\cdot9^{x+1}+3^{x+2}-1=(3^{x+1}-1)^3. Теперь разложим знаменатель: 50x2+50x+12,5=12,5(4x2+4x+1),50x^2+50x+12{,}5=12{,}5(4x^2+4x+1), 50x2+50x+12,5=12,5(2x+1)2.50x^2+50x+12{,}5=12{,}5(2x+1)^2. Исходное неравенство принимает вид (3x+1−1)312,5(2x+1)2≥0.\frac{(3^{x+1}-1)^3}{12{,}5(2x+1)^2}\geq0. Знаменатель обращается в ноль при 2x+1=0,2x+1=0, x=−12.x=-\frac12. Поэтому x≠−12.x\neq-\frac12. При остальных значениях xx знаменатель положителен, так как является произведением положительного числа и квадрата. Следовательно, достаточно решить неравенство (3x+1−1)3≥0.(3^{x+1}-1)^3\geq0. Так как третья степень сохраняет знак, получаем 3x+1−1≥0,3^{x+1}-1\geq0, 3x+1≥1,3^{x+1}\geq1, 3x+1≥30.3^{x+1}\geq3^0. Функция 3x3^x возрастает, поэтому x+1≥0,x+1\geq0, x≥−1.x\geq-1. Исключаем точку x=−12,x=-\frac12, в которой исходное выражение не определено. Получаем x∈[−1;−12)∪(−12;+∞).x\in\left[-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;+\infty\right). Ответ: x∈[−1;−12)∪(−12;+∞).x\in\left[-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;+\infty\right).

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 15: Показательное неравенство