АдаптивВойти

Математика, задание 15: Неравенство

Математика№15Показательное неравенствоСредняя
Решите неравенство 23x−2⋅4x+1+5⋅2x+2−16x−1≥0.\frac{2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16}{x-1}\geq0.
Показать решение
Разложим числитель на множители. Сделаем замену 2x=t,t>0.2^x=t,\quad t>0. Тогда 23x=t3,2^{3x}=t^3, 2⋅4x+1=2⋅4⋅4x=8⋅22x=8t2,2\cdot4^{x+1}=2\cdot4\cdot4^x=8\cdot2^{2x}=8t^2, 5⋅2x+2=20⋅2x=20t.5\cdot2^{x+2}=20\cdot2^x=20t. Поэтому числитель принимает вид t3−8t2+20t−16.t^3-8t^2+20t-16. Разложим полученный многочлен на множители: t3−8t2+20t−16=(t−2)(t2−6t+8),t^3-8t^2+20t-16=(t-2)(t^2-6t+8), t3−8t2+20t−16=(t−2)2(t−4).t^3-8t^2+20t-16=(t-2)^2(t-4). Возвращаемся к переменной xx: 23x−2⋅4x+1+5⋅2x+2−16=(2x−2)2(2x−4).2^{3x}-2\cdot4^{x+1}+5\cdot2^{x+2}-16 =(2^x-2)^2(2^x-4). Получаем неравенство (2x−2)2(2x−4)x−1≥0.\frac{(2^x-2)^2(2^x-4)}{x-1}\geq0. Найдём нули числителя: 2x−2=0,2^x-2=0, 2x=2,2^x=2, x=1,x=1, и 2x−4=0,2^x-4=0, 2x=4,2^x=4, x=2.x=2. Знаменатель обращается в ноль при x=1.x=1. Поэтому точка x=1x=1 не входит в область допустимых значений. Множитель (2x−2)2(2^x-2)^2 неотрицателен и не меняет знак. Поэтому знак дроби определяется выражением 2x−4x−1.\frac{2^x-4}{x-1}. Критические точки: x=1,x=2.x=1,\qquad x=2. На промежутке (−∞;1)(-\infty;1) числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна. На промежутке (1;2)(1;2) числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна. При x≥2x\geq2 дробь неотрицательна, причём при x=2x=2 она равна нулю. Следовательно, x∈(−∞;1)∪[2;+∞).x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty). Ответ: x∈(−∞;1)∪[2;+∞).x\in(-\infty;1)\cup[2;+\infty).

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 15: Показательное неравенство