Разложим знаменатель на множители.
Сделаем замену
2x2=t.
Тогда
4x2−8⋅2x2+16=t2−8t+16=(t−4)2.
Следовательно,
4x2−8⋅2x2+16=(2x2−4)2.
Теперь разложим числитель на множители:
x3+x2−x−1=(x3+x2)−(x+1),x3+x2−x−1=x2(x+1)−(x+1),x3+x2−x−1=(x+1)(x2−1),x3+x2−x−1=(x+1)2(x−1).
Получаем неравенство
(2x2−4)2(x+1)2(x−1)≥0.
Найдём точки, в которых числитель равен нулю:
(x+1)2(x−1)=0.
Отсюда
x=−1
или
x=1.
Теперь найдём значения, при которых знаменатель равен нулю:
2x2−4=0,2x2=4,2x2=22,x2=2,x=±2.
Точки
x=−2,x=2
не входят в область допустимых значений.
При всех остальных значениях x знаменатель
(2x2−4)2
положителен, поэтому знак дроби определяется числителем
(x+1)2(x−1).
Множитель
(x+1)2
неотрицателен и обращается в ноль при
x=−1.
Поэтому дробь равна нулю при
x=−1
и
x=1,
а положительна при
x>1,
за исключением точки
x=2,
в которой выражение не определено.
Получаем
x∈{−1}∪[1;2)∪(2;+∞).
Ответ:
x∈{−1}∪[1;2)∪(2;+∞).