АдаптивВойти

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней

Математика№13Тригонометрические уравненияСредняя
а) Решите уравнение cos⁡2x−sin⁡x=0.\cos 2x-\sin x=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π;2π].\left[-\pi;2\pi\right].
Показать решение
а) Используем формулу: cos⁡2x=1−2sin⁡2x.\cos 2x=1-2\sin^2x. Тогда исходное уравнение принимает вид: 1−2sin⁡2x−sin⁡x=0.1-2\sin^2x-\sin x=0. Перенесём все слагаемые и разложим на множители: 2sin⁡2x+sin⁡x−1=0,2\sin^2x+\sin x-1=0, (2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0.(2\sin x-1)(\sin x+1)=0. Следовательно, sin⁡x=12\sin x=\frac12 или sin⁡x=−1.\sin x=-1. В первом случае: x=π6+2πn,n∈Z,x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, или x=5π6+2πn,n∈Z.x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. Во втором случае: x=−π2+2πn,n∈Z.x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. Таким образом, получили все решения исходного уравнения. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−π;2π].\left[-\pi;2\pi\right]. Из серии x=π6+2πnx=\frac{\pi}{6}+2\pi n подходит x=π6.x=\frac{\pi}{6}. Из серии x=5π6+2πnx=\frac{5\pi}{6}+2\pi n подходит x=5π6.x=\frac{5\pi}{6}. Из серии x=−π2+2πnx=-\frac{\pi}{2}+2\pi n подходят x=−π2x=-\frac{\pi}{2} и x=3π2.x=\frac{3\pi}{2}. Ответ: −π2; π6; 5π6; 3π2.-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6};\ \frac{3\pi}{2}.

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 13: Тригонометрические уравнения