АдаптивВойти

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней

Математика№13Тригонометрические уравненияСредняя
а) Решите уравнение 2cos⁡(x−π3)+2sin⁡(3π2+x)=02\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [−2π;−π2]\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].
Показать решение
а) По формуле приведения и формуле косинуса разности: sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x cos⁡(x−π3)=cos⁡x⋅cos⁡π3+sin⁡x⋅sin⁡π3\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cdot \cos\frac{\pi}{3} + \sin x \cdot \sin\frac{\pi}{3} Получаем: 2(cos⁡x⋅cos⁡π3+sin⁡x⋅sin⁡π3)−2cos⁡x=02\left(\cos x \cdot \cos\frac{\pi}{3} + \sin x \cdot \sin\frac{\pi}{3}\right) - 2\cos x = 0 cos⁡x+3sin⁡x−2cos⁡x=0\cos x + \sqrt{3}\sin x - 2\cos x = 0 3sin⁡x−cos⁡x=0\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0 Заметим, что если cos⁡x=0\cos x = 0, то sin⁡x=0\sin x = 0, что противоречит осн. триг. тождеству. Значит, можем обе части уравнения поделить на cos⁡x≠0\cos x \neq 0. Получаем: 3tg⁡x−1=0\sqrt{3}\operatorname{tg} x - 1 = 0 tg⁡x=13\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} x=π6+πk,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

Автор разбора: Администратор Четвёртый

Математика, задание 13: Тригонометрические уравнения