Question

а) Решите уравнение \cos^2 x+\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [5\pi;6\pi].

Accepted Answer

а) Преобразуем второе слагаемое: \sin\left(x-\frac{\pi}{4}ight) =\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x. Тогда \cos^2x+\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos xight)^2=\frac12. Раскроем квадрат: \cos^2x+\frac12\sin^2x-\sin x\cos x+\frac12\cos^2x=\frac12. Используем тождество \sin^2x+\cos^2x=1. Получаем: \cos^2x+\frac12-\sin x\cos x=\frac12, \cos^2x-\sin x\cos x=0, \cos x(\cos x-\sin x)=0. Следовательно, \cos x=0 или \cos x-\sin x=0. Из первого уравнения: x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. Во втором случае \sin x=\cos x. При \cos x=0 это равенство не выполняется, поэтому можем разделить на \cos x: 	an x=1. Отсюда x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. Таким образом, x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, или x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. б) Отберём корни на промежутке [5\pi;6\pi]. Для первой серии: 5\pi\leq\frac{\pi}{2}+\pi n\leq6\pi. Разделим на \pi: 5\leq\frac12+n\leq6, \frac92\leq n\leq\frac{11}{2}. Подходит только n=5. Получаем: x=\frac{\pi}{2}+5\pi=\frac{11\pi}{2}. Для второй серии: 5\pi\leq\frac{\pi}{4}+\pi k\leq6\pi. Разделим на \pi: 5\leq\frac14+k\leq6, \frac{19}{4}\leq k\leq\frac{23}{4}. Подходит только k=5. Получаем: x=\frac{\pi}{4}+5\pi=\frac{21\pi}{4}. Ответ: а) x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. б) \frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней