а) Используем формулы
sin(x+π)=−sinx
и
cos2x=1−2sin2x.
Тогда исходное уравнение принимает вид:
1−cos2x+2sinx=2+2sinx.
Подставим формулу двойного угла:
1−(1−2sin2x)+2sinx=2+2sinx.
Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:
2sin2x+2sinx−2−2sinx=0.
Сгруппируем слагаемые:
(2sin2x+2sinx)−(2+2sinx)=0.
Вынесем общие множители:
2sinx(2sinx+1)−2(2sinx+1)=0.
Получаем:
(2sinx−2)(2sinx+1)=0.
Следовательно,
2sinx−2=0
или
2sinx+1=0.
Отсюда
sinx=1
или
sinx=−22.
Для первого уравнения:
x=2π+2πm,m∈Z.
Для второго уравнения:
x=−4π+2πk,k∈Z,
или
x=−43π+2πn,n∈Z.
Таким образом,
x=−43π+2πn,n∈Z,x=−4π+2πk,k∈Z,x=2π+2πm,m∈Z.
б) Отберём корни, принадлежащие промежутку
[−3π;−23π].
Из серии
x=−43π+2πn
подходит значение
n=−1,
поэтому
x=−43π−2π=−411π.
Из серии
x=−4π+2πk
подходит значение
k=−1,
поэтому
x=−4π−2π=−49π.
Из серии
x=2π+2πm
подходит значение
m=−1,
поэтому
x=2π−2π=−23π.
Ответ:
а)
x=−43π+2πn,n∈Z;x=−4π+2πk,k∈Z;x=2π+2πm,m∈Z.
б)
−411π;−49π;−23π.