Question

Вот оформленное условие в вашем синтаксисе: а) Решите уравнение \sin^2 x + \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\frac{13\pi}{2}; \frac{15\pi}{2}\right].

Accepted Answer

а) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cdot \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \cdot \sin\frac{\pi}{4} = = \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos x - \sin x) Тогда наше уравнение примет вид: \sin^2 x + \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \sin^2 x + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos x - \sin x)\right)^2 = \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{1}{2}\left(\cos^2 x - 2\cos x \cdot \sin x + \sin^2 x\right) = \frac{1}{2} Поскольку по ОНТ имеем \cos^2 x + \sin^2 x = 1, то получим: \sin^2 x + \frac{1}{2}(1 - 2\sin x \cdot \cos x) = \frac{1}{2} 2\sin^2 x + 1 - 2\sin x \cdot \cos x = 1 2\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x = 0 2\sin x(\sin x - \cos x) = 0 \begin{cases} \sin x = 0 \ \sin x - \cos x = 0 \end{cases} Заметим, что второе равенство не обращается в верное при \sin x = 0, а значит, на \sin x можно разделить: \begin{cases} \sin x = 0 \ \operatorname{ctg} x = 1 \end{cases} \begin{cases} x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{cases}

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней