Математика№13Тригонометрические уравненияСредняя
а) Решите уравнение 81−4x−21⋅41,5−3x+640=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1;−0,5]. Показать решениеСкрыть решение
По свойству степеней преобразуем данное уравнение:
81−4x−21⋅41,5−3x+640=0
8⋅(23)−4x−21⋅41,5⋅(22)−3x+640=0
8⋅2−12x−21⋅8⋅2−6x+640=0∣:8
(2−6x)2−21⋅2−6x+80=0
Сделаем замену 2−6x=t, t>0. Получим:
t2−21t+80=0
D=441−4⋅80=121
t1=221−11=5,t2=221+11=16
Cделаем обратную замену для t1:
2−6x=5
2−6x=2log25
−6x=log25
x=−61log25
Cделаем обратную замену для t2:
2−6x=16
2−6x=24
−6x=4
x=−32
Cледовательно, исходному уравнению удовлетворяют корни: x=−32, x=−61log25.
б) Заметим, что
−32>−33=−1
−32=−64<−63=−21=−0,5
Тогда, корень x=−32 принадлежит отрезку [−1;−0,5].
Теперь сравним 61log25 с 0,5:
61log25∨0,5
log25∨3
log25∨log28
log25<log28
Тогда 61log25<0,5 и −61log25>−0,5. Таким образом, корень x=−61log25 не принадлежит отрезку [−1;−0,5].
Ответ:
а) −32; −61log25
б) −32