АдаптивВойти

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней

Математика№13Тригонометрические уравненияСредняя
а) Решите уравнение log⁡2(sin⁡2x)=log⁡2(2cos⁡x).\log_2(\sin 2x)=\log_2(\sqrt2\cos x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [−π;π2].\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right].
Показать решение
а) Найдём область допустимых значений: {sin⁡2x>0,cos⁡x>0. \begin{cases} \sin 2x>0,\\ \cos x>0. \end{cases} Так как основания логарифмов одинаковы, при выполнении ОДЗ равны их аргументы: sin⁡2x=2cos⁡x.\sin 2x=\sqrt2\cos x. Используем формулу sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x.\sin 2x=2\sin x\cos x. Получаем: 2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x,2\sin x\cos x=\sqrt2\cos x, cos⁡x(2sin⁡x−2)=0.\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0. Отсюда cos⁡x=0\cos x=0 или sin⁡x=22.\sin x=\frac{\sqrt2}{2}. Корни уравнения cos⁡x=0\cos x=0 не входят в ОДЗ, поскольку должно выполняться условие cos⁡x>0.\cos x>0. Решим второе уравнение: sin⁡x=22.\sin x=\frac{\sqrt2}{2}. Получаем: x=π4+2πn,n∈Z,x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, или x=3π4+2πn,n∈Z.x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. Для второй серии cos⁡(3π4+2πn)<0,\cos\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right)<0, поэтому эти корни не удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, x=π4+2πn,n∈Z.x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. б) Отберём корни, принадлежащие промежутку [−π;π2].\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]. Имеем: −π≤π4+2πn≤π2.-\pi\leq\frac{\pi}{4}+2\pi n\leq\frac{\pi}{2}. Разделим на π\pi: −1≤14+2n≤12.-1\leq\frac14+2n\leq\frac12. Вычтем 14\frac14: −54≤2n≤14.-\frac54\leq2n\leq\frac14. Разделим на 2: −58≤n≤18.-\frac58\leq n\leq\frac18. Единственное целое значение: n=0.n=0. Следовательно, x=π4.x=\frac{\pi}{4}. Ответ: а) x=π4+2πn,n∈Z.x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. б) π4.\frac{\pi}{4}.

Автор разбора: Администратор Первый

Математика, задание 13: Тригонометрические уравнения