Question

а) Решите уравнение 2\sin x+2\sqrt2\sin(-x)-4\cos^2x=\sqrt2-4. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].

Accepted Answer

а) Используем формулы \sin(-x)=-\sin x и \cos^2x=1-\sin^2x. Тогда исходное уравнение принимает вид: 2\sin x-2\sqrt2\sin x-4(1-\sin^2x)=\sqrt2-4. Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть: 2\sin x-2\sqrt2\sin x-4+4\sin^2x-\sqrt2+4=0, 4\sin^2x+2\sin x-2\sqrt2\sin x-\sqrt2=0. Сгруппируем слагаемые: (4\sin^2x+2\sin x)-(2\sqrt2\sin x+\sqrt2)=0, 2\sin x(2\sin x+1)-\sqrt2(2\sin x+1)=0. Вынесем общий множитель: (2\sin x-\sqrt2)(2\sin x+1)=0. Следовательно, 2\sin x-\sqrt2=0 или 2\sin x+1=0. Получаем: \sin x=\frac{\sqrt2}{2} или \sin x=-\frac12. Из первого уравнения: x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, или x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. Из второго уравнения: x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, или x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. б) Отберём корни, принадлежащие промежутку \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]. Из серии x=\frac{\pi}{4}+2\pi n подходит x=\frac{\pi}{4}. Из серии x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n подходит x=\frac{3\pi}{4}. Из серии x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n подходит x=-\frac{\pi}{6}. Корни серии x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n данному промежутку не принадлежат. Ответ: а) x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z; x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z; x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z; x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. б) -\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4}.

Математика, задание 13: Уравнение с отбором корней